At huske Schröders metode som en effektiv strategi til at estimere rødder af ukendt mangfoldighed

Abstrakt:

I dette papir foreslår vi, så vidt vi ved, det første iterative skema med hukommelse til at finde rødder, hvis mangfoldighed er ukendt, der findes i litteraturen. Det forbedrer effektiviteten af ​​en lignende procedure uden hukommelse på grund af Schröder og kan betragtes som et frø til at generere højere-ordens metoder med lignende karakteristika. Når først dens konvergensrækkefølge er studeret, analyseres dens stabilitet og viser dens gode egenskaber, og den sammenlignes numerisk med hensyn til deres tiltrækningsområder med lignende skemaer uden hukommelse til at finde flere rødder.

Hukommelse er en vigtig del af menneskelig intelligens og en nødvendighed for menneskelig læring, tænkning, skabelse og liv. Men mange mennesker oplever, at deres hukommelse er utilstrækkelig, og de glemmer ofte vigtige ting. Hukommelsens kvalitet er tæt forbundet med hukommelsens iteration.

Den såkaldte iteration af hukommelse refererer til den kontinuerlige styrkelse og konsolidering af hukommelsen i processen med gentagen indlæring af et bestemt videnspunkt eller færdighed og til sidst omdannet til langtidshukommelse. Denne proces hjælper ikke kun med at konsolidere minder, men forbedrer også mængden og kvaliteten af ​​dem.

Så hvordan gentager man hukommelsen godt? Først og fremmest er det nødvendigt at forstå læringsindholdet fuldt ud. Kun ved dyb forståelse kan viden virkelig indprentes i sindet og undgå at glemme. For det andet, fortsæt med at gennemgå. Gentagne gange gennemgang af den indlærte viden hjælper hjernen med at uddybe indtrykket af vidensgenkendelse, ræsonnement og forståelse og derved forbedre langtidshukommelsen. Brug endelig en række forskellige metoder til at hjælpe med at iterere på hukommelsen. Du kan fx gøre din hukommelse mere dybdegående ved at lave mindmaps, genfortælle mv.

Kort sagt er iterativ hukommelse en kompleks og vigtig proces, der kræver kontinuerlig indsats og vedholdenhed. Kun ved at behandle iterativ hukommelse som en livsstil og integrere den i alle aspekter af det daglige studie, arbejde og liv, kan vi løbende forbedre vores hukommelse, sætte os selv i stand til bedre at klare komplekse lærings- og arbejdsudfordringer og vise en ny personlig stil. Kødpasta er et traditionelt kinesisk medicinsk materiale, der har mange unikke effekter, hvoraf den ene er at forbedre hukommelsen. Effektiviteten af ​​hakket kød kommer fra en række aktive ingredienser, det indeholder, herunder carboxylsyre, polysaccharider, flavonoider osv. Disse ingredienser kan fremme hjernens sundhed gennem forskellige kanaler.

Klik på kender 10 måder at forbedre hukommelsen på

Nøgleord:

Ikke-lineære ligninger; iterative metoder med hukommelse; flere rødder; fri for derivater; effektivitet; stabilitet.

1. Introduktion

Der findes i litteraturen (se f.eks. reference [1-8]) adskillige iterative metoder uden hukommelse, der involverer eller ikke afledte, designet til at estimere multiple rødder af en ikke-lineær ligning f(x)=0, men de fleste af dem har brug for viden om mangfoldigheden m af disse rødder.

Det er velkendt, at Schröders metode [9]:

med at være en reel parameter, kræver 4 funktionsevalueringer pr. trin og er ikke længere derivatfri. Denne Traub-Steffensen metode på g er for dyr og overvejes ikke nærmere.

Den største fordel ved Schröder-skemaet er dets uafhængighed af viden om mangfoldigheden af ​​den ikke-lineære funktion, i modsætning til den modificerede Newtons metode for multiple rødder,

hvor m er multipliciteten af ​​, som skal være kendt i dette tilfælde. Denne ordning skyldtes også Schröder (se også reference [9]), og vi betegner den med SM2. Dette skema er andenordens konvergent og derfor optimalt i betydningen af ​​Kung-Traub formodning, (da det bruger to nye funktionelle evalueringer per iteration; se reference [10]). Den har dog brug for viden om mangfoldigheden, mens SM1 ikke bruger den; ikke desto mindre er den største ulempe ved SM1-skemaet dens lave effektivitet, da den skal evaluere tre ikke-lineære funktioner (f(x), f 0 (x) og f 00(x)) per iteration.

Vores mål i dette manuskript er dobbelt: fra den ene side vil vi gerne øge effektiviteten af ​​SM1-skemaet, fastholde dets evne til at finde multiple rødder af multiplicitet m uden at kende m og fra den anden side at kombinere i den samme algoritme evnen til at finde flere rødder med brug af mere end én tidligere iteration. Så vi foreslår et iterativt skema med hukommelse til at estimere multiple rødder af ukendt multiplicitet. Så vidt vi ved, findes der i litteraturen ingen iterativ procedure, der opfylder disse egenskaber.

I analysen af ​​konvergensen af ​​det foreslåede skema skal nogle aspekter tages i betragtning, da det er en iterativ metode med hukommelse, så fejlen i flere tidligere iterationer skal tages i betragtning, og multipliciteten af ​​roden m bør også være et nøgleelement af demonstrationen, selvom dens specifikke værdi ikke kendes. Med hensyn til dette faktum skal det bemærkes, at f (q) ( ) {{0}} for q=1, 2, . . . , m − 1 og f (m) ( ) 6= 0. Så Taylor-udvidelserne omkring f og f 0, der vises i det iterative udtryk, bør tage højde for denne information.

På den anden side, da vores foreslåede skema er en iterativ procedure, der bruger tre tidligere iterater til at beregne den næste, er det nødvendigt at udtrykke fejlligningen i form af deres tilsvarende fejl og ud fra den at udlede dens konvergensrækkefølge. Dette er lavet ved hjælp af et klassisk resultat af Ortega og Rheinboldt [11], som præsenteres nedenfor.

Sætning 1. Lad ψ være en iterativ metode med hukommelse, der genererer en sekvens {xk} af tilnærmelser til roden , og lad denne sekvens konvergere til . Hvis der findes en konstant η, der ikke er nul, og positive tal ti, i=0, 1, . . . , m, sådan at uligheden

I dette manuskript er afsnit 2 afsat til design og konvergensanalyse af den foreslåede derivatfri iterative metode med hukommelse til at finde flere rødder (uden viden om dens mangfoldighed). I afsnit 3 analyseres dens stabilitet for at udlede dens afhængighed af de indledende estimeringer for både simple og multiple rødder. I afsnit 4 kontrolleres metodens numeriske ydeevne på flere testfunktioner, der analyseres, samt deres tilsvarende attraktionsbassiner, i sammenligning med eksisterende Schröder-metoder.

2. Design og konvergensanalyse

Vores udgangspunkt er den derivatfrie ordning med hukommelse på grund af Traub [12],

Den største fordel ved denne ordning er dens evne til at finde enkle såvel som flere rødder af en ikke-lineær funktion uden viden om mangfoldigheden, med bedre effektivitet end SM1. Bestemt, ved at bruge Ostrowskis effektivitetsindeks [13], er ISM1=2 1 3 ≈ 1,25992 lavere end IgTM=1.841 2 ≈ 1,35647, hvor hvert indeks I beregnes som p 1 d, med p være rækkefølgen af ​​metodens konvergens, og d mængden af ​​nye funktionelle evalueringer pr. iteration.

I næste afsnit foretages en dynamisk analyse af dette skema, for at vise dets kvalitative ydeevne på simple og multiple rødder. Da det er en iterativ metode med hukommelse, skal der bruges multidimensionel reel dynamik.

3. Kvalitativ undersøgelse af de foreslåede iterative metoder med hukommelse til multiple rod

Lad os bemærke, at vores metode bruger tre tidligere iterationer til at generere den følgende; derfor kan det udtrykkes generelt a

hvor x0, x−1 og x−2 er de indledende estimeringer. Ved at bruge proceduren defineret i reference [14], kan denne metode beskrives som et diskret reelt multidimensionelt dynamisk system, og dets kvalitative adfærd kan analyseres

Den kvalitative ydeevne af det dynamiske system har et nøgleelement i karakteriseringen af ​​deres fikspunkter, hvad angår stabilitet. For at beregne fikspunkterne for 1 SF Υ kan en hjælpevektorfunktion M: R3 −→ R3 defineres, relateret til 1 SF Υ ved hjælp af:

Desuden, hvis der eksisterer en egenværdi λi af den jakobiske matrix M{{0}} evalueret ved et fast punkt x ∗, der opfylder |λi|< 1 og en anden λj, således at |λj|> 1, så kaldes x ∗ sadelfikspunkt. Som en forlængelse af begrebet i en-dimensionel dynamik, hvis egenværdierne af M0 (x ∗ ) opfylder |λj |=0 for alle værdier af j=1, 2, . . . , m, så er det faste punkt x ∗ ikke kun tiltrækkende, men også supertiltrækkende. Derfor har metoden kvadratisk konvergens, i det mindste på klassen af ​​ikke-lineære funktioner, der udleder den rationelle funktion (se reference [12]).

Ved at betragte x ∗ som et tiltrækkende fikspunkt af M, er dets tiltrækningsbassin A(x ∗ ) defineret som sættet af forbilleder af enhver rækkefølge

Den kvalitative ydeevne af forskellige iterative skemaer designet til at løse ikke-lineære ligninger med flere rødder er blevet undersøgt af forskellige forfattere (se for eksempel Reference [17-19]). Det er blevet lavet ved at bruge diskret kompleks dynamik, da alle disse skemaer er uden hukommelse. I disse undersøgelser er det opnået, at når en iterativ metode (uden hukommelse) designet til at finde flere rødder virker på en ikke-lineær funktion med både simple og multiple rødder, er det ret almindeligt, at tiltrækningsbassinerne for simple rødder er smallere end dem med flere rødder. Faktisk kan disse simple rødder definere faste punkter i den rationelle funktion, som er frastødende. Derfor bør den iterative metode kun være i stand til at finde flere rødder.

Den følgende kvalitative analyse er lavet på p(x)=(x + 1)(x − 1) m, m Større end eller lig med 1, således at skemaets evne til at finde både simple og multiple rødder (med multiplicitet m) testes.

Et meget nyttigt værktøj til at visualisere de analytiske resultater er systemets dynamiske plan, sammensat af et sæt forskellige tiltrækningsbassiner. Her er det dynamiske plan for den foreslåede metode gTM bygget ved at beregne kredsløbet af en maske på 800 × 800 startpunkter (z, x) for en fast værdi af w i startgitteret. Da de iterative skemaer skal startes med tre indledende estimeringer, genererer vi et net af dynamiske planer, hver af dem med en fast værdi på w i intervallet [−1,75, 1,75]. I disse faseportrætter er hvert punkt af nettet malet i forskellige farver (orange og grøn i dette tilfælde), afhængigt af den attraktor, de konvergerer til (markeret som en hvid stjerne), med en tolerance på 10−3. Derudover vises de i sort, hvis banen ikke har nået noget attraktivt fikspunkt i maksimalt 500 iterationer. Da den faste værdi af w ændres i en vektor af værdier tilhørende [−1,75, 1,75], giver det en sammensætning af tal for hver multiplicitet, hvilket giver anledning til en slags konturplot.

I figur 1 viser vi udførelsen af ​​gTM-skemaet på p(x), det vil sige af rationel operator TM for simple rødder. Ved at observere adfærden for de forskellige plots med de tre første iterationer varierende hver i [−2, 2], bemærkes den stabile gennemførlighed. Røddernes tiltrækningsbassiner er de eneste; de er brede, og den eneste anderledes ydeevne (bedre end andre med hensyn til enkelheden af ​​grænsen mellem bassinerne) er tilfældet w=0, hvor den rationelle funktion er simplificeret. I alle tilfælde observeres det, at den eneste mulige adfærd af metode gTM er konvergensen til rødderne.

På den anden side viser vi i figur 2 en meget ens ydelse, når en af ​​rødderne er dobbelt, og den anden er enkel. Tiltrækningsbassinerne er lige brede, og denne adfærd er meget ens, når andre mangfoldigheder er blevet udforsket. Derudover kan man i dette tilfælde se, at der kun er konvergens til rødderne, da mørkere områder kun har langsommere konvergens, på grund af den højere kompleksitet af grænsen for tiltrækningsbassinerne.

4. Numerisk ydeevne og dynamiske tests

I dette afsnit sammenligner vi tre metoder, nemlig SM2 (kræver viden om multipliciteten), SM1 og gTM (afledt af Traubs metode). De sidste to metoder kræver ikke viden om mangfoldigheden, men de kræver ekstra funktionelle evalueringer pr. iterationstrin (tre i tilfælde af SM1, to i gTM-tilfælde).

Metoderne sammenlignes både kvalitativt via bassinet af attraktionsfigurer og kvantitativt via flere mål. Disse mål er CPU-køretiden for at køre metoden på punkter i en 6 gange 6 firkant centreret i oprindelsen. Vi opdelte kvadratet med ensartet fordelte vandrette og lodrette linjer og tog alle skæringspunkter som startpunkter for den iterative proces.

For TM, en metode med hukommelse, skulle vi tage to yderligere startpunkter x−1=x0 + d og x−2=x0 + 2d, hvor d er linjernes afstand. Et andet kriterium indsamlet af koden er det gennemsnitlige antal iterationer pr. point (AIPP), men da metoderne kræver et andet antal funktionelle evalueringer pr. trin, tog vi det gennemsnitlige antal funktioner pr. punkt (AFPP). Det tredje kriterium er antallet af divergerende punkter (DP), som er antallet af punkter, for hvilke metoden ikke konvergerede i 40 iterationer med en tolerance på 10−7.

Baseret på figur 3 er det klart, at SM1 og SM2 har lignende bassiner, og gTM har flere lapper på grænsen mellem de to bassiner. Fra figur 4 bemærker vi, at gTM er bedre end SM1. I de næste 3 figurer er gTM bedst med bredere tiltrækningsområder og smallere sorte områder uden konvergens til rødderne. Denne ydeevne holdes selv for ikke-polynomisk funktion f5. Desuden kan det i figur 8 bemærkes, at tiltrækningsbassinerne for metode SM2 er bredere end vores gTM-metode.

Vi henviser nu til dataene i tabel 1-3. CPU-driftstiden i sekunder er angivet i tabel 2. SM2 er konsekvent hurtigere end de andre. Hvis multipliciteten ikke er kendt, så er gTM hurtigere end SM1, bortset fra det første eksempel. I gennemsnit er gTM hurtigere end SM1.

Det gennemsnitlige antal funktionsevalueringer pr. punkt (se tabel 2) er det højeste for SM1 for alle eksempler. Bemærk, at det sidste eksempel er det sværeste for alle metoder. Antallet af divergerende point er det laveste for gTM for eksempel 1, 3 og 4. SM1 har de mest divergerende point for de første 6 eksempler, men i det sidste eksempel klarede gTM sig dårligt og blev en samlet tredjeplads. Metoden SM2 var bedst i gennemsnit for de 3 kategorier efterfulgt af gTM for 2 kategorier.

5. Konklusioner

Et nyt iterativt skema med hukommelse med evnen til at finde både simple og multiple rødder (uden behov for at kende deres mangfoldighed) er blevet konstrueret. Det er, så vidt vi ved, den første metode med disse egenskaber i litteraturen. Dets konvergensrækkefølge har vist sig at være ca. 1,84 med to nye funktionelle evalueringer per iteration; dette giver ordningen til at forbedre effektiviteten af ​​Schröder-ordningen uden hukommelse SM1, som har lignende egenskaber. Ved at bruge multidimensionel reel diskret dynamik og lavgradspolynomier med simple og multiple rødder er stabiliteten af ​​det foreslåede skema blevet analyseret, hvilket viser brede områder med konvergens til begge slags rødder.

I det sidste afsnit har Schröder- og gTM-metoder, der kører på flere eksempler, givet os mulighed for at konkludere, at hvis multipliciteten er kendt på forhånd, så kan SM1 og gTM ikke konkurrere, selvom gTM er bedre end SM1. Men når mangfoldigheden ikke er kendt, viser den foreslåede metode gTM en meget god ydeevne og bedre effektivitet end SM1-metoder med hensyn til udførelsestid, beregningsomkostninger og bredden af ​​tiltrækningsbassinerne.

Forfatterbidrag:

Konceptualisering, AC og JRT; metode, BN; software, AC og BN; validering, BN; formel analyse, JRT; undersøgelse, AC; skrivning—originalt udkast til forberedelse, AC og BN; skrivning – gennemgang og redigering, JRT; supervision, BN og JRT Alle forfattere har læst og accepteret den offentliggjorte version af manuskriptet.

Finansiering:

Denne forskning blev delvist understøttet af PGC2018-095896-B-C22 (MCIU/AEI/FEDER, UE).

Erklæring om informeret samtykke:

Ikke anvendelig.

Anerkendelser:

Forfatterne vil gerne takke de anonyme anmeldere for deres forslag og kommentarer, der har forbedret den endelige version af dette manuskript.

Interessekonflikt:

Forfatterne erklærer ingen interessekonflikt.

Referencer

1. Petkovi'c, M.; Neta, B.; Petkovi´c, L.; Džuni´c, J. Flerpunktsmetoder til løsning af ikke-lineære ligninger; Academic Press: Oxford, Storbritannien, 2013.

2. Amat, S.; Busquier, S. Fremskridt i iterative metoder til ikke-lineære ligninger; SEMA SIMAI Springer Series 10; Springer: Cham, Schweiz, 2016.

3. Behl, R.; Cordero, A.; Torregrosa, JR En ny højere ordens optimal derivatfri ordning for flere rødder. J. Comput. Appl. Matematik. 2021, 113773, under tryk. [CrossRef]

4. Kumar, S.; Kumar, D.; Sharma, JR; Cesarano, C.; Aggarwal, P.; Chu, YM En optimal fjerde-ordens derivatfri numerisk algoritme til flere rødder. Symmetry 2020, 12, 1038. [CrossRef]

5. Akram, S.; Akram, F.; Junjua, M.; Arshad, M.; Afzal, T. En familie af optimal ottende ordens iterativ funktion for flere rødder og dens dynamik. J. Math. 2021, 77, 1249-1272.

6. Sharma, JR; Arora, H. En familie af femte-ordens iterative metoder til at finde flere rødder af ikke-lineære ligninger. Nummer. Anal. Appl. 2021, 14, 186-199. [CrossRef]

7. Kumar, S.; Kumar, D.; Sharma, JR; Argyros, IK En effektiv klasse af fjerde-ordens derivatfri metode til flere rødder. Int. J. Ikke-lineær Sci. Nummer. Simul. 2021. [CrossRef]

8. Zafar, F.; Cordero, A.; Torregrosa, JR En familie af optimal fjerde-ordens metode til multiple rødder af ikke-lineære ligninger. Matematik. Metoder Appl. Sci. 2020, 43, 7869-7884. [CrossRef]

9. Schröder, E. Über unendlich viele Algorithmen zur Auflösung der Gleichungen. Matematik. Ann. 1870, 2, 317-365. [CrossRef]

10. Kung, HT; Traub, JF Optimal rækkefølge af etpunkts- og flerpunkts iteration. J. Assoc. Comput. Mach. 1974, 21, 643-651. [CrossRef]

11. Ortega, JM; Rheinboldt, WC Iterativ løsning af ikke-lineære ligninger i flere variable; Academic Press: Cambridge, MA, USA, 1970.

12. Traub, JF Iterative metoder til løsning af ligninger; Prentice-Hall: Hoboken, NJ, USA, 1964.

13. Ostrowski, AM Løsninger af ligninger og ligningssystemer; Academic Press: New York, NY, USA; London, Storbritannien, 1966.

14. Campos, B.; Cordero, A.; Torregrosa, JR; Vindel, P. En multidimensionel dynamisk tilgang til iterative metoder med hukommelse. Appl. Matematik. Comput. 2015, 271, 701-715. [CrossRef]

15. Devaney, RL En introduktion til kaotiske dynamiske systemer; Fremskridt inden for matematik og teknik; CRC Press: Boca Raton, FL, USA, 2003.

For more information:1950477648nn@gmail.com